Fundamentoj de lineara algebro/p. 07

Ekzemploj de grupoj

1.	($\mathbb{Z}$,+), la aro de la entjeroj kun la adicio kiel operacio, estas abela grupo. La neŭtrala elemento estas 0; la inversa elemento de n ∈ $\mathbb{Z}$ estas −n ∈ $\mathbb{Z}$. Same ankaŭ ($\mathbb{Q}$,+) kaj ($ℝ$,+), la aroj de la racionalaj kaj la reelaj nombroj kun la adicio estas abelaj grupoj. Kontraŭe ($\mathbb{N}$,+), la aro de la naturaj nombroj kun la adicio, ne estas grupo, ĉar por a ∈ $\mathbb{N}$\{0} la aksiomo G 3 ne estas plenumita.
2.	$(ℝ\setminus \{0\},\cdot )$ estas abela grupo. La neŭtrala elemento estas 1, kaj la inversa elemento de $a\in ℝ\setminus \{0\}$ estas $\frac{1}{a}$. Sed $(ℝ,\cdot )$ ne estas grupo, ĉar por la elemento 0 ∈ $ℝ$ ne ekzistas inversa elemento.
3.	Estu M nemalplena aro kaj S(M) la aro de la permutoj de M, t.e. de la bijekciaj bildigoj de M sur ĝin mem. Ni difinas en S(M) operacion · per sinsekva aplikado de la permutoj: Por σ, τ estu σ · τ la bildigo $(\sigma \cdot \tau )(x)=\sigma (\tau (x))$ por ĉiuj x ∈ M. Tiam σ · τ estas bijekcia bildigo de M sur ĝin mem. Ni montras, ke (S(M),·) estas grupo: Neŭtrala elemento estas la identa bildigo idM : x → x por ĉiu x ∈ M. La inversaj elementoj ekzistas, ĉar bijekciaj bildigoj estas inversigeblaj. La aksiomo de asocieco validas pro ((σ · τ) · ρ)(x) = (σ · τ)(ρ(x)) = σ(τ(ρ(x))) = σ((τ · ρ)(x)) = (σ · (τ · ρ))(x) Ĝenerale tiu ĉi grupo ne estas abela, kiel montras la sekva ekzemplo sur la aro M = {0,1,2}: $\sigma \cdot \tau =\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 2& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 0& 2\end{array}\right]$, $\tau \cdot \sigma =\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 2& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 2& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 2& 1& 0\end{array}\right]$, kie la subaj elementoj estas la bildoj de la supraj. Notu, ke ni aplikas unue la dekstran permuton.