Termodinamiko/Leciono 4

La dua termodinamika teoremo

La unua termodinamika teoremo traktas pri la principo de la energikonservo, pri la ekvivalenco de laboro kaj varmo. Ĝi neas la eblecon de la senĉesa movigilo (“perpetuum mobile”). Sed ĝi ne okupiĝ’as pri kondiĉoj, kiuj estas necesaj al la ŝanĝiĝo de laboro en varmon kaj reen, ĝis kiom oni povas eluzi la alkondukitan varmon por ŝanĝi ĝin en laboron kaj kiam ĉi tiuj ŝanĝiĝoj entute ne estas eblaj.

La dua termodinamika teoremo respektas laŭleĝecon de ŝanĝiĝoj tendencantaj al la ekvilibra stato. Ĉi tiaj ŝanĝoj tendencantaj al la ekvilibra stato. Ĉi tiaj ŝanĝiĝoj. Inter ili ekzemple apartenas la ŝanĝiĝo de la mekanika laboro en la varmon, la transiro de la varmo el la pli varma korpo en la pli malvarman. Ĉi tiuj ŝanĝiĝoj ne efektiviĝas memimpulse aŭtomate en la rea direkto. La sencon de la dua termodinamika teoremo sendepende ekkomprenis kaj malkovris rimarkindaj fizikistoj kaj difinis ĝin diversmaniere.

Clausius:

La varmo ne povas de si mem transiri el la pli malvarma korpo en la pli varman korpon. W. Thompson (lordo Kelvin):

Oni ne eblas per iu ajn ciklo gajni la laboron el la sistemo de nevivaj masoj nur malvarmigante unun el ĉi tiuj masoj ĝis al la temperaturo pli malalta, ol estas samtempe la temperaturo de la plej malvarma loko en ĝia ĉirkaŭaĵo.

Planck:

Ne estas ebla konstrui periode laborantan maŝinon, kiu nenion alian farus ol malvarmigus la varman banon kaj realigus tiamaniere la samvaloran kaj ekvivalentan laboron.

Sadi Carnot:

Ĉiuj inversciklaj maŝinoj periode laborantaj inter la samaj temperaturoj havas la saman efikecon. La maŝino kun unu neinversa procezo ne povas havi sian efikecon pli grandan, sed – (ĉar kun ĉiu vere neinversa procezo oni perdas la eblecon gajni la laboron el la varmo) – ĝi havas la efikecon pli malgrandan.

Do la dua termodinamika teoremo eksplikas, kiam kaj en kiu disetendo la unua termodinamika teoremo validas. Ĝi la rea direkto por unuopaj neinversaj procezoj. Ĝi limigas por cikloj laborantaj inter do temperaturoj eluzon de la varmo en la laboron, aŭ male, per netranspasebleco de la limo, kiun difinas la ciklo de Carnot laboranta inter la samaj temperaturoj.

Kiam laboras du cikloj inter la samaj temperaturoj kun la sama akceptita varmo el la varmprovizujo havanta la pli altan temperaturon, kaj kiam estas unu el ĉi tiuj cikloj la ciklo de Carnot kaj la alia estas la neinversa ciklo, tiam validas inter ili la sekva rilato:

La akceptitaj varmoj de ambaŭ cikloj estas la samaj:

$q_{c1}=q_{n1}=q_1$

La ekvacio por la laboro de la ciklo de Carnot estas:

$a_c=q_{c1}=q_{c2}$

La ekvacio por la laboro de la neinversa ciklo estas:

$a_n=q_{n1}=q_{n2}$

Kaj la diferenco de forkondukitaj varmoj estas:

(93)

$q_{c2}-q_{n2}=(q_1-a_c)-(q_1-a_n)=a_n-a_c$

a_c – la laboro gajnita per la ciklo de Carnot, kJ/kg
a_n – la laboro gajnita per la neinversa ciklo, kJ/kg
q_c1 – la alkondukita varmo al la ciklo de Carnot, kJ/kg
q_n1 – la alkondukita varmo al la neinversa ciklo, kJ/kg
q_c2 – la forkondukita varmo de la ciklo de Carnot, kJ/kg
q_n2 – la forkondukita varmo de la neinversa ciklo, kJ/kg

Kiam la resto de laboro laŭ ĉi tiu ekvacio – (93) – estus pozitiva, tiam signifus tio, ke oni gajnas laboron malprofite de la varmo el la varmprovizujo kun la pli malalta temperaturo. Sed tio bedaŭrinde ne estas ebla. Tio kontraŭas la spertojn kaj ankaŭ la duan termodinamikan teoremon. Tial povas nur validi, ke la diferenco de laboroj estas nagativa kaj en la tute lima kazo nula. Oni tion eksplikas matematike jene:

(94)

$a_n\le a_c$

Por la varmefikeco de ambaŭ maŝinoj validas la rilato:

(95)

${\eta }^{\prime }=\frac{a_n}{q_1}\le \frac{a_c}{q_1}=\eta$

$\eta$ – la varmefikeco de la maŝino laboranta en la ciklo de Carnot
$\eta$' – la varmefikeco de la maŝino laboranta en la neinversa ciklo

Sed por la ciklo de Carnot validas la rilato de la varmefikeco esprimita per la temperaturoj de ambaŭ varmprovizujoj:

$\eta =\frac{T_1-T_2}{T_1}$

T₁ – la temperaturo de la varmiganta varmprovizujo kun la pli alta temperaturo, °K
T₂ – la temperaturo de la malvarmiganta varmprovizujo kun la pli malalta temperaturo, °K

Post la anstataŭigo en la rilato (95), komparanta la varmefikecojn oni ricevas:

(95a)

${\eta }^{\prime }=\frac{a_n}{q_1}\le \frac{T_1-T_2}{T_1}$

La egaleco ekestas, kiam la ciklo de Carnot kaj la neinversa ciklo samiĝas. Tio signifas, ke oni jam en ĉi tiu kazo komparas du samaj kaj egalaj ciklojn de Carnot.

La malekvacio (95) kaj (95a) estas la matematika esprimo por la difino de la dua termodinamika teoremo laŭ Carnot.

─── ● ───

Por la inversa ciklo de Carnot validas por la varmefikeco la sekva rilato:

(90)

${\eta }_t=1-\frac{\left|q_2\right|}{q_1}=1-\frac{T_2}{T_1}$

q₁ – la alkondukita varmo, kJ/kg
q₂ – la forkondukita varmo, kJ/kg
T₁ – la temperaturo, dum kiu oni alkondukas la varmon q1, oK
T₂ – la temperaturo, dum kiu oni forkondukas la varmon q2, oK

El la ekvacio (90) rezultas:

$1-\frac{\left|q_2\right|}{q_1}=1-\frac{T_2}{T_1}$

$\frac{\left|q_2\right|}{T_2}=\frac{q_1}{T_1}$

$\frac{q_1}{T_1}-\frac{\left|q_2\right|}{T_2}=0$

Kiam oni konsideras la signon de la forkondukita varmo $\left|q_2\right|=-q_2$ , tiam oni oni ricevas:

$\frac{q_1}{T_1}+\frac{q_2}{T_2}=0$

aŭ

(91)

$\sum \frac{ℒ}{T}=0$

Por la inversa ciklo de Carnot estas la algebra sumo se termoj (q:T) egala al la nulo.

─── ● ───

Laŭ Clasius oni povas dividi kiun ajn inversan ciklon en n-nombrajn elementajn ciklojn de Carnot.

Dosiero:Clasius-partoj.GIF

En ĉi tiu kazo estas alkondukitaj varmoj de unuopaj elementak cikloj:

$d{q}_1^I,d{q}_1^{II},d{q}_1^{III},d{q}_1^{IV}.............d{q}_1^{(n)}$

kaj forkondukitaj varmoj:

$d{q}_2^I,d{q}_2^{II},d{q}_2^{III},d{q}_1^{IV}.............d{q}_2^{(n)}$

Por la unua elementa ciklo validas  : $\frac{d{q_1}^{\prime }}{{T_1}^{\prime }}+\frac{d{q_2}^{\prime }}{{T_2}^{\prime }}=0$

Por la dua elementa ciklo  : $\frac{d{q_1}^{″}}{{T_1}^{″}}+\frac{d{q_2}^{″}}{{T_2}^{″}}=0$

Por la n-nombra elementa ciklo  : $\frac{d{q}_1^n}{T_1^n}+\frac{d{q}_2^n}{T_2^n}=0$

Kiam la nombro de ekvacioj estas $n\to \mathrm{\infty }$ tiam validas:

(96)

$\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{d{q}_1}{T_1}+\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{d{q}_2}{T_2}=0$

kaj post la sumigo:

(96a)

$\oint \frac{dq}{T}=0$

dq estas pozitiva, kiam oni aldonas la varmon al la gaso, kaj negativa, kiam oni forkondukas la varmon. La ekvacio (96a) estas ankaŭ la matematika esprimo de la dua termodinamika teoremo.

Por la neinversaj cikloj validas analogie la samaj rilatoj kiel por la inversa ciklo de Carnot, sed nur kun tiu diferenco, ke la akvcio ŝanĝiĝas en la malekvacion.

Tial por la varmefikeco validas la sekva rilato:

(97)

${\eta }_t=1-\frac{\left|q_2\right|}{q_1}<1-\frac{T_2}{T_1}$

q₁ – la alkondukita varmo de la neinversa ciklo, kJ/kg
q₂ – la forkondukita varmo de la neinversa ciklo, kJ/kg
T₁ – la temperaturo de la varmprovizujo kun la pli alta temperaturo de la ciklo de Carnot, °K
T₂ – la temperaturo de la varmprovizujo kun la pli malalta temperaturo de la ciklo de Carnot, °K

El al malekvacio (97) rezultas:

$\frac{\left|q_2\right|}{T_2}<1-\frac{q_1}{T_1}$

(98)

$\frac{q_1}{T_1}+\frac{\left|q_2\right|}{T_2}<0$

Kiam oni konsideras la signon de la dua termo, tiam estas:

(99)

$\oint \frac{dq}{T}<0$

La neinversa ciklo de Carnot havas la algebran sumon de remoj (q:T) pli malgrandan ol nulo. Por la libervola neinversa cilklo dividita en n-nombrajn ciklojn de Carnot validas ĉi tiu malekvacio: kaj ĉi tiu estas ankaŭ la matematika esprimo de la dua termodinamika toremo.

Entropio

La ekvacio $\oint \frac{dq}{T}=0$ validas por la inversaj cikloj. Ĝi ne dependas de la materispeco kaj de la procezoj, el kiuj la ciklo konsistas. Ĉar ∫(dq/T) egalas al la nulo, devas esti dq/T la totala diferencialo de la grando, dependanta nur de la materistato kaj ne de la vojo, per kiu la materio ĉi tiun staton atingis. Ĉi tiun grandon enkondukis Claudius, kaj nomite ĝin entropio, li esprimis ĝin matematike pere de sekva ekvacio:

(101)

$ds=\frac{dq}{T}$

$dS=\frac{dQ}{T}$

La entropio S estas la stata funkcio. La stato de la gasa materio dependas de tri fundamentaj stataj grandoj p,v,T – (premo, specifa volumeno, temperaturo) –, el kiuj du estas libervole ŝanĝiĝeblaj. La entropio, kiel la stata grando povas alterne anstataŭigi unun el ili. Tiukaze la entropio povas esti esprimita kiel la funkcio de du fundamentaj stataj grandoj. Do, ĝenerale validas la sekva vico da dependecaj rilatoj.

(102)

$s={\varphi }_1(p,v)$

$s={\varphi }_2(p,v)$

$s={\varphi }_3(p,v)$

La totala diferencialo de la funkcio s estas:

(102a)

$ds={\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)}_{p}dv+{\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)}_{v}dp$

$ds={\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)}_{T}dp+{\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_{p}dT$

$ds={\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)}_{T}dv+{\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_{v}dT$

Ĉar la entropio estas la stata grando, tial post la termodinamikaj procezoj inter la punktoj 1,2 laŭ la kurboj a,b,c,d la aliiĝo de entropio dependas nur de la ekstremaj punktoj (1,2).

Dosiero:Diversaj vojoj.GIF$\mathrm{\Delta }{s}_a=\mathrm{\Delta }{s}_b=\mathrm{\Delta }{s}_c=\mathrm{\Delta }{s}_d$

Por la elementa inversa procezo oni devas skribi:

$ds=\frac{dq}{T}=\frac{du+pdv}{T}$

kaj por la limigita inversa procezo:

$\mathrm{\Delta }s=s_2-s_1=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{dq}{T}$

Por la entropio de la neinversa ciklo (1a2b1) validas:

Dosiero:Entropio neinversa.GIF$\oint \frac{dq}{T}<0$

Kiam estas la segmento (1a2) neinversa kaj la segmento (2b1) inversa, tiam oni povas ĉi tiun esprimi jene:

$\underset{(a)1}{\overset{2}{\int }}\frac{dq}{T}+\underset{(b)2}{\overset{1}{\int }}\frac{dq}{T}<0$

...........neinversa.................inversa

$\underset{(b)2}{\overset{1}{\int }}\frac{dq}{T}$Prezentas la aiiĝon de la entropio apartenanta al la inversa ŝanĝiĝo (2b1), kiu estas egala al (s₁-s₂).

Kaj tial estas:

$\underset{(a)1}{\overset{2}{\int }}\frac{dq}{T}+(s_1-s_2)<0$

$(s_2-s_1)>\underset{(a)1}{\overset{2}{\int }}\frac{dq}{T}$

$\mathrm{\Delta }s>\underset{(a)1}{\overset{2}{\int }}\frac{dq}{T}$

(103)

$ds>\frac{dq}{T}$

Kiam la inversa procezo realiĝas sen la alkonduko da varmo (dq = 0) – (ĉi tio okazas en izolitaj sistemoj), tiam la aliiĝo de la entropio estas:

$ds=\frac{dq}{T}=0$

Por ĉi tiu kazo estas la entropio konstanta:

$s=konst$

$s_1=s_2$

$S_1=S_2$

aŭ por la inversa ciklo:

$\mathrm{\Delta }s=\oint \frac{dq}{T}=0$

$s=konst$

La aliiĝo de la entropio por la tuta sistemo, en kiu realiĝas la neinversa procezo egalas:

(104)

$ds=\frac{d{q}_{al}}{T}+\frac{d{q}_f}{T}$

samtempe estas:

(105)

$dq=d{q}_{al}+d{q}_f$

dq_al – la varmo alkondukita el la eksteraĵo, kJ/kg
dq_f – la varmo ekestanta el la frotado, kJ/kg

Kiam ĉi tiu procezo realiĝas en la izolita sistemo, tiam dq_al = 0, kaj la ekvacio (104) ricevas la formon:

$ds=\frac{d{q}_f}{T}>0$

kaj la entropio estas:

$ds>0$

Kiam en la sistemo realiĝas neinversaj cikloj, tiam oni povas difini la aliiĝon de la entropioj por unuopaj ŝanĝiĝoj.

Tiel estas:

$\mathrm{\Delta }s>0$

$s_2>s_1$

Do, por la inversaj kaj neinversaj procezoj aŭ cikloj validas la komuna matematika esprimo:

(106)

$ds\ge 0$

La malegalsigno validas por la neinversaj procezoj kaj la egalsigno por la inversaj.

El ĉi tio rezultas, ke en la izolita sistemo estas eblaj nur procezoj, dum kiuj la entropio de la sistemo kreskas aŭ restas konstanta. La inversaj procezoj povas realiĝi nur dum la ekvilibraj statoj kaj por ili validas, ke ds = 0. La neinversaj procezoj realiĝas nur tiam, kiam la sistemo celas de la neekvilibra stato al sia ekvilibreco. Tiam validas ds > 0. El tio ankaŭ rezultas, ke la entropio de la sistemo en la ekvilibran staton celas al sia maksimumo.

La ĝenerala matematika esprimo por la dua termodinamika teoremo, kiun oni povas en la rilato al izolitaj sistemoj nomi la principo de la kresko de entropio, estas:

(106)

$ds\ge 0$

Al al formuloj de la dua termodinamika teoremo oni devas mencii ankaŭ ĉi tiuj du:

1) La diferencialo de la entropio estas la totala diferencialo

2) Por la inversaj cikloj estas $\oint \frac{dq}{T}<0$

La fundamenta senco kaj enhavo de la rilato (106) estas la neinverseco. Ĝi montras, ke la kresko de la entropio celas al iu certa maksimumo kaj al la egaligo de temperaturo sur la plej malalta kaj al la haltigo de ĉiuj ŝanĝoj. Ĉi tio memkompreneble supozas la izolecon de sistemo.

Bildigo de la termodinamikaj procezoj en la T–s diagramoj

En la T-s diagramo oni uzas por la bildigo de entropiaj valoroj s la koordinaton x kaj por la valoroj de la absoluta temperaturo T la koordinaton y. La sistemo de koordinatoj t, s estas por la bildigo de termodinamikaj procezoj kaj cikloj multfoje tre demonstrata kaj trafa. Oni povas tiamaniere tre simple bildigi alkondukitan kaj forkondukitan varmojn. La rilatoj kunigitaj kun la fundamentaj stataj grandoj estas ankaŭ relative simple bildigeblaj, precipe la absoluta temperaturo. Ĝi ja estas unu el du koordinatoj.

Dosiero:T-s diagramo.GIF

$dq=Tds$

La areo sub la kurbo ĝis al la koordinato s prezentas la alkondukitan aŭ forkondukitan varmon

$ds=\frac{dq}{T}$

$dq=Tds$

$d_{1,2}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}Tds$

Dosiero:T-s alkonduk-forkonduk.GIF Kiam estas ds > 0, tiam estas la alkondukita varmo +dq.

Kiam estas ds < 0, tiam estas la forkondukita varmo –dq.

El la T-s diagramo oni povas difini la varmefikecon de iu bildigita ciklo. La tute ĝeneralan laŭvolan ciklon oni bildigas jene:

Dosiero:T-s generala ciklo.GIF

${\eta }_t=\frac{q_1-q_2}{q_1}$

${\eta }_t=\frac{a_0}{q_1}$

La varmefikeco de la ciklo estas difinita per la proporcio de areoj.

la areo: 1-I-2-2’-1’-1 = q₁  : la alkondukita varmo
la areo: 2-II-1-1’-2’-2 = q₂  : la forkondukita varmo
la areo: 1-I-2-II-1 = a₀ = (q₁ – q₂) : la varmo ŝanĝita en la laboron

La plej grandan varmefikecon inter ĉiuj varmcikloj havas la ciklo de Carnot.

Dosiero:T-s ciklo de Carnot.GIF

${\eta }_{tc}=\frac{a_0}{q_1}$

${\eta }_{tc}=\frac{T_1-T_2}{T_1}=1-\frac{T_2}{T_1}$

la areo1-2-a-b-1= q₁la alkondukita varmo la areo3-4-b-a-3= q₂ : la forkondukita varmo la areo 1-2-3-4-1= a₀ la gajnita laboron

Dosiero:La varmefikeco de la ciklo de Carnot.GIF

La varmefikeco de la ciklo de Carnot
kun konstanta temperaturo t’₂ = 27 °C, t’’₂ = 7 °C

T1°C	T1°K	T’2/T1	T”2/T1	1-(T’2/T1)	1-(T”2/T1)
100	373	0,805	0,750	0,195	0,250
200	473	0,635	0,592	0,365	0,408
300	573	0,525	0,488	0,475	0,512
400	673	0,445	0,416	0,535	0,584
500	773	0,388	0,362	0,612	0,638
600	873	0,344	0,321	0,656	0,679
700	973	0,308	0,288	0,692	0,712
800	1073	0,279	0,260	0,721	0,740
900	1173	0,255	0,238	0,745	0,762
1000	1273	0,236	0,220	0,764	0,780
1100	1373	0,218	0,203	0,782	0,797
1200	1473	0,203	0,190	0,797	0,810
1300	1573	0,191	0,177	0,809	0,823
1400	1673	0,179	0,167	0,821	0,833
1500	1773	0,169	0,158	0,831	0,842

La T-s diagramo klare montras, kiel la temperaturdiferenco kaj la alteco de ambaŭ absolutaj temperaturoj influas la varmefikecon. La ciklo de Carnot povas teorie atingi la plenan centprocentan efikecon de la varmŝanĝogo en la laboron laŭ la ekvacio:

${\eta }_{tc}=\frac{T_1-T_2}{T_1}=1-\frac{T_2}{T_1}$

nur se estus plenumitaj ĉi tiuj du kondiĉoj:

1) $T_1=\mathrm{\infty }$

aŭ

2) $T_2=0$

Tio signifas, ke oni ĉi tiun kazon ne povas prepari. Ĝi estas tute ne atingebla. Ekzemple la varmefikeco de la vaporturbino estas limigita eĉ per la enirtemperaturo, eĉ per la elirtemperaturo de la laborvaporo. La elirtemperaturon limigas la temperaturo de la malvarmiganta akvo. La enirtemperaturo ne devas esti pli alta ol permesas la materiala firmeco. La diagramo supre montras la kreskon de la varmefikeco de la ideala ciklo de Carnot. La elirtemperaturo estas konstanta kaj en du variantoj t’₂ = 27 °C, t’’₂ = 7 °C. La elirtemperaturo t1 kreskas depende de la varmefikeco.

Oni devas nur konstati, ke eĉ la varmefikeco de la ciklo de Carnot inter la temperaturoj atingeblaj per la vaporturbino estas tre modesta. Ĝi estas dum la enirtemperaturo de 500 °C nur iom pli ol 60% . Kaj 70% ĝi atingus ĝis pasinte 700 °C. Bedaŭrinde la malsupra temperaturo T₂ limigas la varmeluzon por laboro laŭ la dua termodinamika teoremo. La pli bonan varmeluzon permesus nur materialoj havantaj bonajn konstruajn ecojn dum altegaj temperaturoj. Ĉiu alia ciklo efektiviganta inter du samaj temperaturoj T₁,T₂ kaj realiganta la saman laboron havas ĉiam pli malgrandan varmefikecon ol la ciklo de Carnot, ĉar la alkondukita varmmulto q₁ estos por la egala laboro a₀ pli granda.

Alkondukitaj varmoj:

q_1c – areo 1-2-a-b-1– por la ciklo de Carnot
q_1ĝ – areo A-B-C-D-A por ĝenerala ciklo Dosiero:T-s ciklo de Carnot kaj generala.GIF η_tc – la varmefikeco de la ciklo de Carnot
η_tĝ – la varmefikeco por la ĝenerala ciklo

La ciklo de Carnot estas el ĉiuj cikloj la plej ekonomia kaj tial ĝi servas por la komparo kun aliaj cikloj kiel la fundamenta mezurilo.

La dependeco de la entropio laŭ la fundamentaj stataj grandoj por la ideala gaso

Por la grafika bildigo de la termodinamikaj ŝanĝiĝas en T-s diagramo necesas koni la rilatojn inter unuopaj fundamentaj stataj grandoj kaj la entropio por povi difini la tendencon de iliaj kurboj en la diagramo.

La dependeco de la entropia ŝanĝiĝo laŭ la ĝenerale esprimita kiel la funkcio:

(102c)

$S={\varphi }_3(v,T)$

Oni difinas ĉi tiun rilaton el la ekvacio por la entropio:

El la stata ekvacio validas:

$\frac{p}{T}=\frac{r}{v}$

$c_v=konst$

Plue:

$ds=\frac{dq}{T}$

$ds=\frac{c_{v}dT-pdv}{T}$

$ds=c_v\frac{dT}{T}+\frac{pdv}{T}$

(107)

$ds=c_v\frac{dT}{T}+r\frac{dv}{v}$

$s=c_v\ln T+r\ln v+s_0$

(107a)

$s_2-s_1=c_v\ln \frac{T_2}{T_1}+r\ln v+s_0$

La dependeco de la entropia ŝanĝiĝo laŭ la absoluta temperaturo kaj premo estas ĝenerale esprimita kiel la funkcio:

(102b)

$s={\varphi }_2(p,T)$

Oni difinas ĉi tiun rilaton el la ekvacio (107) anstataŭigante tie por dv/v la esprimon el la diferenciita formo de la logaritmita stata ekvacio:

la stata ekvacio: $pv=rT$

post la logaritmado: $\ln p+\ln v=\ln r+\ln T$

(108)

post la derivado:

$\frac{dv}{v}=\frac{dT}{T}+\frac{dp}{p}$

Anstataŭgita parton de la (108), la (107) estos:

$ds=c_v\frac{dT}{T}+r\frac{dv}{v}$

$ds=c_v\frac{dT}{T}+r\left(\frac{dT}{T}\frac{dp}{p}\right)$

---

$(c_v+r)=c_p$

$c_p=konst$

---

$ds=(c_v+r)\frac{dT}{T}-r\frac{dp}{p}$

(109)

$ds=c_p\frac{dT}{T}-r\frac{dp}{p}$

---

$s=c_p\ln T-r\ln p+s_0$

(109a)

$s_2-s_1=c_p\ln \frac{T_2}{T_1}-r\ln \frac{p{2}_2}{p_1}$

La dependeco de la entropia ŝanĝiĝo laŭ la premo kaj specifa volumeno estas ĝenerale esprimita kiel la funkcio:

(102a)

$s={\varphi }_1(p,v)$

Oni difinas ĉi tiun rilaton el la ekvacio (107) anstataŭigante tie por dT/T la esprimon el la diferenciita formo de la logaritmita stata ekvacio.

El la ekvacio (108) validas: $\frac{dT}{Tn}=\frac{dp}{p}+\frac{dv}{v}$

La ekvacio (107) estas: $ds=c_v\frac{dT}{T}+r\frac{dv}{v}$

$ds=c_v(\frac{dp}{p}+\left(\frac{dv}{v}\right)+r\frac{dv}{v})$

---

$(c_v+r)=c_p$

$c_p=konst$

---

$ds=(c_v+r)\frac{dv}{v}-c_v\frac{dp}{p}$

(110)

$ds=c_p\frac{dv}{v}-c_v\frac{dp}{p}$

---

$s=c_p\ln v-c_v\ln p+s_0$

(110a)

$s_2-s_1=c_p\ln \frac{v_2}{v_1}-c_v\ln \frac{p{2}_2}{p_1}$

La kurboj de la inversaj termodinamikaj procezoj por la ideala gaso en la T-s diagramo

1) La izoterma procezo

Por la izoterma procezo restas la absoluta temperaturo konstanta:

$T=konst$

$dT=0$

Por ekspliki la dependecojn de ĉi tiu procezo oni uzas la sekvajn du rilatojn:

$s={\varphi }_2(p,T)$

$ds=c_p\frac{dT}{T}+r\frac{dp}{p}$

$ds=-r\frac{dp}{p}$

$s_2-s_1=-r\ln \frac{p_2}{p_1}$

$s_2-s_1=r\ln \frac{p_1}{p_2}$

kaj

$s={\varphi }_3(v,T)$

$ds=c_v\frac{dT}{T}+r\frac{dv}{v}$

$ds=r\frac{dv}{v}$

$s_2-s_1=r\ln \frac{v_1}{p_v}$

La valoroj de la entropio s estas esprimitaj en kJ/kg•deg.

La izotermoj bildiĝas en la T-s diagramo kiel paraleloj kun la akso x(s). Laŭ la ekvacioj kreskas la entropio dum la izoterma procezo en la logaritma dependeco de

$-\frac{v_2}{v_1}$

aŭ

$\frac{p_1}{p_2}$

Dosiero:T-s izoterma procezo.GIF

$T_1=T_2$

$dq=Tds$

post la integrado:

$q_{1,2}=T_1(s_2-s_1)$

Post la anstataŭigo por la entropio en ĉi tiun ekvacion oni ricevas la sekvan rezulton:

$q_{1,2}=rT\ln \frac{p_1}{p_2}=rT\ln \frac{v_2}{v_1}$

2) La izobara procezo

Por la izobara procezo validas:

$T=konst$

$dT=0$

Difinante la dependecojn por la izobara procezo oni eliras de sekvaj du ĝenerale espromitaj rilatoj:

$s={\varphi }_1(p,v)$

$ds=c_p\frac{dv}{v}+c_v\frac{dp}{p}$

$ds=c_p\frac{dv}{v}$

$s_2-s_1=c_p\ln \frac{v_2}{v_1}$

kaj

$s={\varphi }_2(p,T)$

$ds=c_p\frac{dT}{T}-r\frac{dp}{p}$

$ds=c_p\frac{dT}{T}$

$s_2-s_1=c_p\ln \frac{dT}{T}$

Por la ideala gaso oni kompreneble konsideras, ke la specifa varmo dum la konstanta premo, dp = konst.

Dum ĉi tiuj kondiĉoj la entropio kreskas en la logaritma dependeco kun la kreskas de la proporcio:

$\frac{T_2}{T_1}$

aŭ

$\frac{v_2}{v_1}$

La izobaro estas en T-s diagramo la logaritma kurbo.

Dosiero:T-s izobara procezo.GIF

$p=konst$

$dq=Tds$

$d{q}_{1,2}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}Tds$

La subtangento de iu ajn punkto de la izobaro estas c_p, kiu estas konstanta por la ideala gaso.

$c_p=T{\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_p$

$c_p=konst$

Inter la tangento de la izobaro kaj la akso x(s) kuŝas La angulo α.

Por la alkondukita varmo validas la sekva ekvacio:

$q_{1,2}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}Tds=\underset{1}{\overset{2}{\int }}T{c}_p\frac{dT}{T}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{c}_{p}dT=c_p\underset{1}{\overset{2}{\int }}dT$

$q_{1,2}=c_p(T_2-T_1)$

La areo 1-2-s2-s1-1 prezentas en la T-s diagramo la alkondukitan varmon q_1,2.

3) La izoĥora procezo

Por la izoĥora procezo validas:

$v=konst$

$dv=0$

Difinante la dependecojn por la izoĥora procezo oni eliras de sekvaj du ĝenerale esprimitaj rilatoj:

$s={\varphi }_1(p,v)$

$ds=c_p\frac{dv}{v}+c_v\frac{dp}{p}$

$ds=c_v\frac{dp}{p}$

$s_2-s_1=c_v\ln \frac{p_2}{p_1}$

kaj

$s={\varphi }_3(v,T)$

$ds=c_v\frac{dT}{T}+r\frac{dv}{v}$

$ds=c_v\frac{dT}{T}$

Por la ideala gaso oni kompreneble konsideras la specifan varmon dum la konstanta volumeno kiel konstanta, c_v = konst.

Dum ĉi tiuj kondiĉoj la entropio kreskas en la logaritma dependeco kun la kresko de la proporcio:

$\frac{T_2}{T_1}$

aŭ

$\frac{p_2}{p_1}$

$v=konst$

$dq=Tds$

$q_{1,2}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}Tds$

La izoĥoro estas en la T-s diagramo la logaritma kurbo.

Dosiero:T-s izohora procezo.GIF

La subtangento de iu ajn punkto de la izoĥoro estas c_v, kiu estas konstanta:

$c_v=T{\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_v$

$c_v=konst$

Inter la tangento de izoĥoro kaj la akso x(s) kuŝas la angulo α.

Por la alkondukita varmo validas la sekva ekvacio:

$q_{1,2}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}Tds=\underset{1}{\overset{2}{\int }}T{c}_v\frac{dT}{T}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{c}_{v}dT=c_v\underset{1}{\overset{2}{\int }}dT$

$q_{1,2}=c_v(T_2-T_1)$

La izoĥoroj estas en la T-s diagramo pli krutaj ol la izobaroj, ĉar estas c_p > c_v. Kiam oni bildigas la reton de la izobaroj kaj izoĥoroj en la sistemo de T-s koordinatoj oni ricevas entropian diagramon (aŭ alie – T-s diagramon).

Dosiero:T-s izohoro kaj izobaro.GIF

Kiam oni prenas kiel elirpunkton kiun ajn punkton 1 sur la temperaturo T₁, tiam post la plialtigo de temperaturo ekestas klare rimarkebla diferenco inter la entropioj sur la temperaturnivelo T₂ kauzita per la malsama tendenco de izoĥoroj kaj izobaroj. Ĉi tiun diferencon a-b de la T-s diagramo oni esprimas matemaike jene:

$ab=\mathrm{\Delta }{s}_p-\mathrm{\Delta }{s}_v=c_p\ln \frac{T_2}{T_1}-c_v\ln \frac{T_2}{T_1}$

$ab=r\ln \frac{T_2}{T_1}$

Δs_p – la diferenco de entropioj poet la plialtigo de temperaturoj dum la konstanta premo

Δs_v – la diferenco de entropioj post la plialtigo de temperaturoj dum la konstanta volumeno

4) La adiabata procezo

Por la adiabata procezo validas:

$q=konst$

$dq=0$

$ds=\frac{dq}{T}$

$s=konst$

$s_1=s_2$

Dosiero:T-s adiabata procezo.GIF

Dum la adiabata procezo de la ideala gaso la entropio ne ŝanĝiĝas. Tial oni ankaŭ iam noms ĉi tia procezon – la izotropia aŭ samentropia. En la T-s diagramo oni bildigas la adiabatan kiel vertikalon de la akso x(s). La ekspansio celas malsupren kaj la kunpremo supren.

5) La polipropa procezo

Por la polipropa procezo validas:

$dq=c_{n}dT=Tds$

c_n – la specifa varmo de la politropo

$c_n=c_v^{\frac{n-\kappa }{n-1}}$

$\kappa =\frac{c_p}{c_v}$

$dq=Tds$

$q_{1,2}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}Tds$

Dosiero:T-s polipropa procezo.GIF

Oni uzas la ekvacion de la alkondukita varmo por la ekspliko de rilatoj inter la entropio kaj la fundamentaj grandoj.

$ds=c_n\frac{dT}{T}$

$s_2-s_1=c_n\ln \frac{T_2}{T_1}$

$s_2-s_1=c_v\frac{n-\kappa }{n-1}\ln \frac{T_2}{T_1}$

En la T-s diagramo ankaŭ la specifa varmo de la politropo cn estas la subtangento ppor la tangento de la politropo en ĝia laŭvole elektita punkto. La politropo en la disetendo 1 < n < κ havas c_n la negativan valoron. La angulo α estas malfermita en la direkto al la kurbo 1-2-a-b-1 prezentas la varmon, kiu estas alkondukita dum la ekspansio:

$q_{1,2}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}Tds=\underset{1}{\overset{2}{\int }}T{c}_n\frac{dT}{T}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{c}_{n}dT=c_n\underset{1}{\overset{2}{\int }}dT$

$q_{1,2}=c_n(T_2-T_1)$

Memkompreneble, oni konsideras la specifajn varmojn c_p, c_v kaj c_n por la ideala gaso, kiel konstantoj. Ĉi tiuj grandoj por la ralalaj gasoj dependas de la temperaturo.

Kompletan supervidon de la tendencoj de unuopaj procezkurboj en la T-s diagramo plej bone donas la aro de ĉiuj kurboj elirantaj en unu punkto.

Dosiero:T-s procezkurboj.GIF

Sekvas: [La miksaĵoj de gazoj]

La miksaĵoj de gasoj

En la teknika praktiko oni oftege devas labori kun la miksaĵo de pluraj gasoj. Por la konstruado de maŝinoj estas grava, ke la miksaĵoj de gasoj, kiuj kemie ne interreakcias, sintenadas, kiel unusola gaso. La unuopaj komponentoj de tiaj gasoj estas libervole mikseblaj. La gasmiksaĵoj servas kiel labormaterio ekzemple en gasturbinoj, turbokompresoroj, bloviloj, piŝtaj kompresoroj kaj diversaj piŝtaj motoroj. Ĉar la uzado de gasmiksaĵoj vere tre ofta estas ne nur utile, sed ekonomie necese studi la sintenadon de miksaĵoj kaj la rilatojn inter la rezulta miksaĵo kaj ĝiaj unuopaj komponentoj.

En la jaro 1802 Dalton derivis el siaj eksperimentoj la ekkonon, ke ĉiu gaso sintenadas en la gasmiksaĵo kvazaŭ nur ĝi sola plenumus la tutan volumenon kaj, ke ĝia parta premo ne aliiĝas, sed restas konstanta eĉ dum ĉeesto de aliaj gasoj.

Kiam oni enkondukas du gasojn de la samaj premoj kaj temperaturoj, sed de diversaj volumenoj en unu komunan volumenon tiamaniere, ke oni kunigas ambaŭ volumenojn, tiam ambaŭ gasoj difuze miksiĝas. Inter la stataj grandoj de la gasmiksaĵo kaj de ĝiaj komponentoj validas ĉi tiuj rilatoj:

$V=V^{\prime }+V^{″}$

$p=p^{\prime }+p^{″}$

$V=T^{\prime }+T^{″}$

V – la volmeno de la gasmiksaĵo, m³
V’,V’’ – la volumeno de la gasoj antaŭ la miksigo, m³
p – la premo de la gasmiksaĵo,
p’, p’’ – la premoj de la gasoj antaŭ la miksigo, N/mm²
T – la absoluta temperaturo de la gasmiksaĵo, °K
T’, T’’ – la absoluta temperaturo de la gasoj antaŭ la miksigo, °K

Kiam la miksaĵo konsistas de kelkaj inertaj gasoj, ĝia premo egalas al la sumo de la partaj premoj de unuopaj kompopnentoj. La parta premo harmonias kun la stata ekvacio de ideala gaso uzante por la volumeno de ĉiu komponento la valoron de la volumeno por la tuta miksaĵo. La temperaturo kompreneble estas la sama por ĉiuj unuopaj komponentoj kaj por la tuta miksaĵo antaŭ aŭ post miksigo. Tial por la premo de la gasmiksaĵo kaj por la partaj premoj de unuopaj komponnentoj validas la sekva rilato:

$p=p_1+p_2+p_3+...+p_n=\sum _1^n{p}_i$

p_i – la partaj premoj de unuopaj komponentoj en la miksaĵvolumeno V, N/m2

La rilatoj inter la fundamentaj stataj grandoj de la miksaĵo estas:

$pV=p(\sum _1^n{V}_i)=V(\sum _1^n{p}_i)=T(\sum _1^n{m}_i{r}_i)$

La stata ekvacio por la partaj premojhavas la sekvan formon:

(111)

$p_i{V}_i=m_i{r}_{i}T$

m_i – la masoj de unuopaj komponentoj, kg
r_i – la gasaj konstantoj de unuopaj komponentoj, J/kg•deg

La parta premo de la gasa komponento estas la premo, kiun havus la sama multo de ĉi tiu sama gaso en la tuta volumeno de la gasmiksaĵo V laŭ la stata ekvacio dum la sama temperaturo.

Analogie oni povas difini la partan volumeneon:
La parta volumeno de la gasa komponento estas tia volumeno, kiun okupas la saam multo de ĉi tiu gaso kun la premo p kaj temperaturo T de la gasmiksaĵo laŭ la stata ekvacio:

(112)

$p{V}_i=m_i{r}_{i}T$

V_i – la partaj volumenoj de unuopaj gasoj komponentoj kun la premo kaj temperaturo de la miksaĵo (p,T), m³

Komparinte ambaŭ ekvacioj (111,112) oni ricevas la rilaton de la premo kaj volumeno de la gasmiksaĵo al la partaj premoj kaj volumenoj de ĝiaj gaskomponentoj:

$p{V}_i=p_{i}V$

(113)

$\frac{p}{V}=\frac{p_i}{V_i}$

Por la parta volumeno de unu gasa komponento de la gasmiksaĵo validas ĉi tiu ekvacio

$V_i=V\frac{p_i}{p}$

La koncentreco de la gasmiksaĵo

La koncentreco de la gasmiksaĵo estas la proporcio de la maso de iu certa gasa miksaĵkomponento al la tuta maso de la gasmiksaĵo. Oni povas matematike ekspliki la koncentrecojn de unuopaj komponentoj de la miksaĵo jene:

$W_1=\frac{m_1}{m}{W}_2=\frac{m_2}{m}{W}_n=\frac{m_n}{m}$

(114)

$W_i=\frac{m_i}{m}$

m_i – la masoj de unuopaj komponentoj, kg
m – la maso de la tuta gasmiksaĵo, kg

Por la maso de la tuta miksaĵo validas ĉi tiu ekvacio:

(115)

$m=\sum _1^n{m}_i$

El ĉi tio oni povas deduki la rilaton por la unuopaj koncentrecoj de gasaj miksaĵkompponentoj:

$m=m_1+m_2+m_3+...+m_n/:m$

$1=\frac{m_1}{m}+\frac{m_2}{m}+\frac{m_{1}3}{m}+...+\frac{m_n}{m}$

(116)

$1=W_1+W_2+W_3+...+W_n$

Oni plej ofte indukas la koncentrecojn de la gasmiksaĵoj en procentoj.

Analogie la volumenparto estas la proporcio de la parta volumeno de unuopaj komponentoj al la volumeno de la tuta gasmiksaĵo:

$x_1=\frac{V_1}{V}{x}_2=\frac{V_2}{V}{x}_n=\frac{V_n}{V}$

(117)

$x_i=\frac{V_i}{V}$

Por la volumeno de la tuta miksaĵo validas ĉi tiu ekvacio:

(118)

$V=\sum _1^n{V}_i$

Kaj el ĉi tio oni povas analogie deduki la rilatojn por unuopaj volumenpartoj de la gasaj miksaĵkomponentoj:

$V=V_1+V_2+V_3+...+V_n/:V$

$1=\frac{V_1}{V}+\frac{V_{1}2}{V}+\frac{V_3}{V}+...+\frac{V_n}{V}$

(119)

$1=x_1+x_2+x_3+...+x_n$

Oni ankaŭ la volumenparton plej ofte indikas en procentoj de la tuta gasmiksaĵa volumeno.

Samtempe oni povas la volumenparton esprimi pere de la sekva ekvacio:

(117a)

$x_i=\frac{V_i}{V}=\frac{n_i}{n}$

n – la materia kvanto indikanta la nombron da kilomoloj (kilaogrammolekuloj), kmol

La rilatoj inter la molaj masoj en la gasmiksaĵo

La molaj masoj de la unuopaj komponentoj en la gasmiksaĵo estas:

La mola maso de la tuta gasmiksaĵo estas:

(120)

$M=\frac{m}{n}$

Por la tuta maso de la miksaĵo validas ĉi tiuj ekvacioj:

$m=m_1+m_2+m_3+...+m_n$

$M=M_1{n}_1+M_2{n}_2+M_3{n}_3+...+M_n{n}_n/:n$

$M=M_1\frac{n_1}{n}+M_2\frac{n_2}{n}+M_3\frac{n_3}{n}+...+M_n\frac{n_n}{n}$

$M=M_1{x}_1+M_2{x}_2+M_3{x}_3+...+M_n{x}_n$

(121)

$M=\sum _1^n{M}_i{x}_i$

M_i – la molaj masoj de la unuopaj gasoj komponenoj de la miksaĵo, kg/kmol

La reciprokaj plejrajte nomas la koncetrecon la masa partumo kaj la volumenparton la volumena partumo.

La mason partumon oni esprimas pere de la volumena partumo jene:

$W_n=\frac{m_n}{n}$

$W_n=\frac{M_n{m}_n}{Mn}$

$W_n=\frac{M_n{x}_n}{M}$

$M=\sum _1^n{M}_i{x}_i$

$r=\frac{R}{M}$

$r_n=\frac{R}{M_n}$

(122)

$W_n=\frac{M_n{x}_n}{\sum _1^n{M}_i{x}_i}$

(123)

$W_n=x_n\frac{r}{r_n}$

r – la gasa konstanto

La volumenan partumononi esprimas pere de la masa partumo jene:

$x_n=x_n\frac{V_n}{r_n}$

$x_n=x_n\frac{n_n}{n}$

$n_i=\frac{m_i}{M_i}$

$x_n=x_n\frac{n_n}{n_1+n_2+...+n_n}$

$x_n=\frac{\frac{m_n}{M_n}}{\frac{m_1}{M_1}+\frac{m_2}{M_2}+...+\frac{m_n}{M_n}}$

(124)

$x_n=\frac{\frac{W_n}{M_n}}{\sum _1^n\frac{W_i}{M_i}}$

La specifa maso de la gasmiksaĵo

Oni multfoje bezonas elkalkuli la specifan mason de la gasmiksaĵo, kiam oni konas la specifajn masojn de unuopajn komponentoj kaj iliajn masojn aŭ volumenajn partumojn. La fundamenta elirrilato estas:

$m=\rho V$

Unue oni deduku la rilaton inter la specifa maso kaj la volumena partumo:

$m=m_1+m_2+m_3+...+m_n$

$\rho V={\rho }_1{V}_1+{\rho }_2{V}_2+{\rho }_3{V}_3+...+{\rho }_n{V}_n/:V$

$\rho ={\rho }_1\frac{V_1}{V}+{\rho }_2\frac{V_2}{V}+{\rho }_3\frac{V_3}{V}+...+{\rho }_n\frac{V_n}{V}$

$\rho ={\rho }_1{x}_1+{\rho }_2{x}_2+{\rho }_3{x}_3+...+{\rho }_n{x}_n$

(125)

$\rho =\sum _1^n{\rho }_i{x}_i$

Kaj nun oni derivu la rilaton inter la specifa maso kaj la masa partumo:

$V=V_1+V_2+V_3+...+V_n$

$\frac{m}{\rho }=\frac{m_1}{{\rho }_1}+\frac{m_2}{{\rho }_2}+\frac{m_3}{{\rho }_3}+...+\frac{m_n}{{\rho }_n}$

$\frac{1}{\rho }=\frac{W_1}{{\rho }_1}+\frac{W_2}{{\rho }_2}+\frac{W_3}{{\rho }_3}+...+\frac{W_n}{{\rho }_n}$

(126)

$\rho =\frac{1}{\sum _1^n\frac{W_i}{{\rho }_i}}$

La difino de la gasa konstanto por la gasmiksaĵo

Por teknikaj kalkuloj oni ofte bezonas difini kaj elkalkuli la astan konstanton por la gasmiksaĵo.

Kiam oni konas la masajn partumojn de la unuopaj komponentoj, oni uzas la statan ekvacion de la ideala gaso kiel elirpunkton.

$pV=mrT$

Por unuopaj gaskomponentoj validas la stata ekvacio en ĉi tiu formo:

$p_{n}V=m_n{r}_{n}T$

$(p_1+p_2+...+p_n)V=(m_1{r}_1+,m_2{r}_2+...+m_n{r}_n)T$

$\sum p_i=p$

$pV=mrT$

$mr=\frac{pV}{T}$

$pV=(\sum _1^n{m}_i{r}_i)T$

$\frac{pV}{T}=\sum _1^n{m}_i{r}_i$

$mr=m_1{r}_1+m_2{r}_2+...+M_n{r}_n$

$r=r_1{w}_1+r_2{w}_2+...+r_n{w}_n$

$r=\frac{R}{M}$

$r=\frac{8314}{M}$

$R=8314,J/kmol.deg$

$r=8314(\frac{w_1}{M_1}+\frac{w_2}{M_2}+...+\frac{w_n}{M_n}$

(127)

$r=R\sum _1^n\frac{w_i}{M_i}$

La rezultan ekvacion oni uzas, kiam oni konas la masajn portumoj (koncentrecojn) de unuopaj gaskomponentoj, por la difino de la gaso konstanto r de la tuta gasmiksaĵo.

Kiam oni konas la volumenajn partumojn, oni elektas por la derivado de la gasz konstanto por la tuta gasmiksaĵo, kiel elirpunkton la ekvacion (127).

$w_n=\frac{x_n{M}_n}{\sum _1^n{x}_i{M}_i}$

$\frac{w_n}{M_n}=\frac{x_n}{\sum _1^n{x}_i{M}_i}$

$r=R\sum _1^n\frac{w_i}{M_i}$

$r=8314(\frac{w_1}{M_1}+\frac{w_2}{M_2}+...+\frac{w_n}{M_n}$

$r=\frac{8314}{\sum _1^n{x}_i{M}_i}(x_1+x_2+...+x_n$

(128)

$r=\frac{8314}{\sum _1^n{x}_i{M}_i}$

M – la mola maso, kg/kmol

La gasa konstanto de la gasmiksajo povas esti difinita ankaŭ el la stata ekvacio de la tuta gasmiksaĵo:

$pV=rT$

$r=\frac{pv}{T}$

$pV=(\sum _1^n{m}_i{r}_i)T$

$pv\sum _1^n{m}_i)=(\sum _1^n{m}_i{r}_i)T$

$\frac{pv}{T}=\frac{\sum _1^n{m}_i{r}_i}{\sum _1^n{m}_i}$

(129)

$r=\frac{\sum _1^n{m}_i{r}_i}{\sum _1^n{m}_i}$

Daŭrigo: Vaporoj [[1]]